Estórias Matemáticas

Sargu e a arte de calcular na areia

Alejandra Soto Ferrari

Numa terra muito distante, no Oriente, vivia um

jovem de grandes ideais e muitos sonhos que trabalhava

desde o amanhecer, cultivando a terra.

Almejava sem descanso que seu destino mudasse;

desejava ter a coragem e a sorte daqueles

incansáveis viajantes que percorriam terras longínquas

pelos confins do universo, apreciando novos

pratos e aromas e admirando cores e perfumes

jamais imaginados.

O nome desse rapaz era Sargu, conhecido

como “o obstinado” devido a sua incansável disposição

de mudar seu destino. Era filho de camponeses

e tinha apenas 16 anos. Apesar dos

grandes esforços dos pais para que se dedicasse

à terra, como eles, Sargu, sempre que podia,

escapava de seus trabalhos no campo e subia ao

alto de um morro, onde deixava a imaginação

voar; olhava o horizonte tentando ver tudo que

lhe era proibido.

Todos os dias eram iguais para Sargu; terminava

sua jornada e se punha a sonhar, esperando

algum acontecimento que mudasse sua vida, ansiando

por deixar de arar a terra e ir em busca

das aventuras que, mais de uma vez, ouviu dos

mercadores que chegavam a seu povoado.

Em um dourado entardecer, Sargu, absorto

em seus sonhos, avistou ao longe as figuras de

vários homens e animais. À medida que o grupo

se aproximava, as imagens se tornavam mais claras

e eram tantos camelos e asnos, que não poderia dizer quantos. 

Viu muitos e logo começou a fazer linhas e outros

sinais na areia para registrar em algum lugar o que via. Fez tantas marcas

que não podia acreditar; sem dúvida o senhor que vinha em um dos

camelos, no início da caravana, era um homem rico.

Eram por volta de cem camelos e asnos carregados com todo tipo de

especiarias, tecidos e vasilhas, propriedade de um rico mercador apelidado

de Mestre, cujo verdadeiro nome era Fargot. Era um homem de aproximadamente

50 anos, de poucas palavras e poucos amigos, de voz áspera e olhar

penetrante. Sua pele estava endurecida pelo sol e pela areia e, apesar de sua

riqueza, era um homem de modos e gostos simples.

Viajava acompanhado da família, constituída por três esposas, vários filhos

e sua mais preciosa jóia, sua filha Tesia, de 15 anos, além de muitos

empregados que o serviam e viviam sob sua proteção.

A caravana, que nunca tinha sido tão numerosa, passava ano após ano

pelas terras onde morava Sargu, estabelecendo-se na margem do rio e oferecendo

suas mercadorias aos habitantes das aldeias próximas.

Quando Sargu notou Tesia entre a multidão, ficou cativado pela beleza e

encanto daquela donzela de grandes olhos amendoados e soube que finalmente

havia chegado o momento pelo qual tanto esperara. Era hora de empreender

o vôo, de conhecer terras desconhecidas, lugares nos quais só poucos

haviam estado, mistérios que ninguém havia imaginado; era hora de aceitar

o convite que a cada tarde lhe fazia o horizonte. Tesia precisava conhecêlo,

e conquistá-la seria seu grande feito. Andou incansavelmente pela feira

que havia sido instalada no local, observando com grande interesse as mercadorias

dos comerciantes, e permaneceu horas tentando ver alguma transação.

Todas elas eram realizadas pelo Mestre.

Cada vez que se fazia uma venda importante, chamavam-no e ele tirava

uma bolsa de pano que guardava sob as roupas e, pondo-se de joelhos, fazia

com grande rapidez sulcos na areia, nos quais colocava pequenas bolinhas de

metal. Logo dizia as quantias finais, ante a perplexidade de todos os que o

observavam. Geralmente, os compradores e seus ajudantes utilizavam cordas

com nós, sementes ou pequenos pedaços de madeira para fazer as contas,

mas ninguém superava a exatidão e rapidez do Mestre.

Quando Sargu notou o que Fargot fazia, ficou maravilhado: achou

que ele era um mago ou um bruxo e se propôs a aprender com o Mestre,

mesmo que isso implicasse ter que deixar os seus familiares para se unir

à caravana.

No dia em que se desfez a feira e o grupo se dispôs a partir, Sargu

implorou ao Mestre que o levasse, que lhe ensinasse sua magia, e prometeu

trabalhar só por leito e comida. Fargot, comovido com tamanha insis15

tência, relutou por um momento, dado o modo como o rapaz olhava para

sua querida filha; entretanto, algo nesse moço o fazia sentir como se olhasse

para si próprio, e assim, mais tarde, permitiu que ele se juntasse à caravana;

porém lhe disse: “Minha arte não é magia e tampouco sou mestre,

como me chamam por aqui, portanto não posso ensinar-lhe, só posso dizer

que me observe e aprenda: conte os dedos das mãos, uma, duas vezes

e vá sempre na direção do seu coração”.

E, assim, Sargu se uniu ao grupo e foi rapidamente aceito por todos, graças

a sua tão particular maneira de pensar e seu espírito solidário. Logo

tratou de se aproximar de Tesia, estabelecendo-se entre eles uma bela amizade,

que não demorou a se transformar em verdadeiro amor.

Sargu temia que o Mestre o expulsasse da caravana por sua origem humilde

e logo se propôs, com determinação, ser digno do amor de Tesia. Enquanto

a caravana percorria diversas regiões, transcorreu bastante tempo, e

todas as noites em que demorava para conciliar o sono Sargu, como se estivesse

jogando, fazia sulcos na areia, nos quais colocava pedrinhas arredondadas,

imitando os gestos de Fargot.

Uma noite, cansado de não entender, relembrou uma conta feita pelo

Mestre e conseguiu contar como ele: 123 camelos e 52 asnos, que eram a

totalidade de animais que possuíam. Por fim havia entendido: o que Fargot

fazia era decompor as cifras sobre os sulcos na areia mediante as bolinhas.

Primeiro contava, depois decompunha e finalmente somava. Mas

como fazia isso?

Sargu percebeu que contar até dez era muito importante, daí o Mestre

ter-lhe dito para contar os dedos de ambas as mãos. Em cada sulco havia, de

um modo especial, um 10 implícito. Então se lembrou das outras palavras do

Mestre: “vá sempre na direção do seu coração” e as repetiu uma e outras

vezes, até que, em um segundo – zás –, descobriu: tratava-se de contar da

direita para a esquerda!

Desse modo, Sargu conseguiu montar o seguinte esquema na areia: tinha

123 risquinhos que representavam a quantidade de camelos; ele os agrupou

de 10 em 10, fazendo um círculo em cada grupo, formando assim 12 grupos e

sobraram 3 riscos sem agrupar. Então fez um círculo maior que continha os

10 primeiros grupos e assim sobraram 2 grupos de 10 risquinhos, mais os 3

riscos avulsos.

Os 3 riscos avulsos foram representados por 3 pedrinhas colocadas no

primeiro sulco, à direita do grupo de sulcos que havia previamente feito na

areia. Os 2 grupos de 10 riscos foram representados por 2 pedrinhas, colocadas

no sulco seguinte, à esquerda do anterior, e finalmente ele pôs 1 pedrinha à

esquerda de todas as anteriores, em representação do grupo maior, de 10 grupos

de 10 riscos cada um. Desse modo obteve o seguinte sobre os sulcos:

Fez o mesmo para contar os asnos e obteve o seguinte:

O Mestre normalmente utilizava 3 grupos ou mais de sulcos, dependendo

do tamanho da soma, e usava um sulco independente para os resultados.

Desse modo Sargu transportou todas as bolinhas para um terceiro conjunto

de sulcos e obteve:

Sargu estava simplesmente eufórico. Havia descoberto o grande mistério

do Mestre e poderia ser um sábio, como tanto almejara, e então ser

digno do amor de Tesia. Praticou muitas vezes até que lhe pareceu um

jogo. Começou a não precisar de tantos sulcos e logo chegou a fazer as

contas em um só grupo, no qual ele diferenciava as quantidades usando

pequenos pedaços de madeira para separá-las.

Um dia o Mestre caiu enfermo de um estranho mal, suas pernas não

respondiam, e a caravana precisou permanecer longos meses parada no deserto,

nas proximidades de um pequeno riacho. Reinou a fome e a desolação

e as vendas caíram consideravelmente devido ao isolamento do grupo. Por

necessidade, venderam muitos camelos e asnos a um preço bastante baixo.

A comida e o gado ficaram cada vez mais escassos e as barras cunhadas

de prata, poupadas em épocas melhores, desapareceram por completo ao serem

trocadas por mercadorias de primeira necessidade nas aldeias vizinhas.

Foi então que passou pelo acampamento um conhecido estelionatário, que

chamavam de O Príncipe Negro, e seu bando de agiotas, vindos da cidade

de Nínive. Esse homem e seu séquito souberam da desventura da caravana

do Mestre e viram no desolado grupo a possibilidade de um grande negócio,

no qual ganhariam muito.

O Príncipe Negro ofereceu uma quantidade tentadora de barras de

prata pela compra de algumas especiarias e tecidos e da maior parte dos

camelos e asnos que sobraram, além de um grande dote para levar consigo

a belíssima Tesia.

O débil Fargot não tinha forças para se pôr em pé, nem mesmo para

ajoelhar-se para comprovar as contas do que deveria receber. Foi então que

Sargu interferiu habilmente, entregando ao Mestre, em seu leito, uma tábua

de argila na qual havia talhado vários sulcos verticais paralelos, que imitavam

perfeitamente os sulcos na areia. Sargu explicou ao Mestre, com todos os

detalhes, o tremendo logro a que se exporia se aceitasse o negócio proposto

pelo Príncipe Negro.

Fargot ficou perplexo diante da exatidão das contas e da habilidade e

perícia do rapaz para fazê-las, de modo que muito satisfeito e agradecido não

aceitou o negócio, e os malfeitores fugiram sem deixar rastros.

O Mestre abençoou Sargu e lhe disse:

– Agora sou eu quem lhe pede para ficar e ensinar a mim e aos meus o

que aprendeu. Tenho sido muito egoísta em querer que ninguém mais saiba

sobre a arte de contar na areia. Com o seu invento poderei fazer as contas

mesmo no meu leito. Você aperfeiçoou minha arte e é melhor que eu. Peça

o que quiser, você é um obstinado muito inteligente.

Sargu, emocionado, pensou por alguns instantes e respondeu:

– Quero ficar ao seu lado para sempre, ser seu sócio e amigo. Além disso

quero a mão de sua filha para que me abençoe com sua descendência e,

acima de tudo, quero ser um mestre e ensinar pelo mundo a arte de calcular.

Fargot atendeu aos desejos do rapaz, mas bem no fundo de seu coração

sentia que seu fim se aproximava. Como sua enfermidade o consumia len18

tamente, deixou seu destino e o dos seus nas mãos do rapaz, permitindo que

se festejasse o casamento entre ele e sua filha.

Graças a Sargu puderam continuar sendo os prósperos e ricos mercadores

de sempre, só que agora levavam uma escola errante, aberta a todos que

quisessem aprender a contar no ábaco, nome que se deu ao sistema utilizado

por sulcos e bolinhas sobre a areia.

Sargu era o Grande Mestre, ensinava incansavelmente e repetia:

– Cada bolinha no primeiro sulco à direita corresponde a uma unidade;

cada bolinha no segundo sulco, indo para a esquerda, significa

10 unidades; cada bolinha no terceiro sulco corresponde a 10 unidades

de 10, isto é, 100 unidades, e assim sucessivamente. Recordem:

Para somar ou subtrair dois números, diferenciamo-los separando-os

por pedacinhos de madeira ou outro material similar, mas nunca deve

haver mais que 9 bolinhas em cada sulco.

Por fim Fargot morreu e deixou todos os seus bens para Sargu. Fargot

cuidou para que nada faltasse às suas mulheres e aos seus adorados filhos e

descendentes. Suas últimas palavras expressaram seu desejo de que a escola

errante jamais se detivesse e que seus ensinamentos atingissem os confins

do Universo, sem distinção de nenhum tipo, nem social nem racial.

É por isso que Sargu decidiu destinar o resto de sua existência

à difusão e ao aperfeiçoamento do ábaco, que foi evoluindo,

pouco a pouco, ao passar pelas diferentes culturas e

civilizações do Oriente e do Ocidente. Porém, em essência,

o ábaco permanece o mesmo, e graças a ele se deu um

importante passo em Matemática, conhecido como a notação

com valor posicional (o valor de uma bolinha depende

do lugar ou sulco que ocupa).

Sargu percorreu os lugares mais incríveis com seu invento, visitou

a China e a Índia, entre outros lugares da Ásia, onde, dizem, se aperfeiçoou

ainda mais na arte do ábaco. Desenhou-se um ábaco com bolinhas

sobre eixos fixos, que, além de ser mais cômodo, uma vez que evitava o

constante cair das bolinhas, facilitou as operações com quantidades maiores.

Temos informação de sua existência no Oriente só a partir do século XIII

d.C., de onde, supõe-se, teria passado ao Japão com outras modificações.

O ábaco que Sargu difundiu se firmou fortemente na Mesopotâmia devido

à complexidade de sua escrita, repleta, particularmente na numeração, de

símbolos incômodos e confusos.

Também se difundiu na maioria das terras civilizadas. O ábaco utilizado

na Roma antiga era metálico, em geral de prata ou bronze, e era formado por

dois conjuntos de sulcos paralelos, um sobre o outro. No conjunto dos sulcos

inferiores havia 4 bolinhas em cada um, enquanto no conjunto dos superiores

havia uma só bolinha. A bolinha do sulco superior representava 5 vezes a

bolinha correspondente no sulco inferior. Assim o calculista podia representar

qualquer número.

À direita do ábaco de metal havia um conjunto separado de sulcos utilizados

para se trabalhar com frações, o que faz sentido, já que os romanos

dividiam sua moeda em quartos.

A palavra que os romanos usavam para denominar as bolinhas ou pedrinhas

era calculus, do latim (quem não ouviu falar de cálculos renais?), da

qual vem nossa palavra calcular.

Muito tempo depois, na época de Cólon, alguns comerciantes e donos de

negócios do oeste da Europa ainda utilizavam tabuleiros de contas, que traziam

algumas modificações em relação ao antigo funcionamento, mas obedeciam

aos mesmos princípios do ábaco da antigüidade.

Os ábacos modernos, chineses, japoneses e russos, chamados respectivamente

de Swa Pan, Soroban e Scoty, ainda funcionam com grande facilidade

e rapidez nos seus países, embora seu uso esteja condenado a desaparecer,

devido à utilização crescente das calculadoras.